V tomto krátkom rýchlokurze sférickej geometrie sa oboznámite so základnými vlastnosťami sférických trojuholníkov. Potom sa oboznámite so sínusovou a kosínusovou vetou pre sférický trojuholník a na príkladoch z geografie a astronómie budete tieto vety aplikovať. Tejto činnosti sa hovorí riešenie sférického trojuholníka.
Obtiažnosť tohto rýchlokurzu je na úrovni 3. ročníka gymnázia. Požaduje sa znalosť sínusovej a kosínusovej vety pre rovinný trojuholník.

Definícia
Jednotkovou guľou budeme rozumieť guľu s polomerom 1. Jej povrch budeme nazývať guľová plocha.

Definícia
Uvažujme jednotkovú guľu. Hlavnou kružnicou budeme rozumieť krivku na jednotkovej guli, ktorá vznikne ako prienik guľovej plochy (povrchu gule) a roviny prechádzajúcej stredom gule.
Uvažujme teraz tri navzájom rôzne hlavné kružnice. Tri roviny, v ktorých hlavné kružnice ležia, sú tiež navzájom rôzne. Každé dve z týchto rovín sa pretínajú v priamke, ktorá prechádza stredom S jednotkovej gule. Tieto priamky pretnú guľovú plochu v šiestich bodoch. Označíme ľubovoľné tri body z nich, ktoré neležia na tej istej hlavnej kružnici (také existujú!) ako A, B, C. Ich obrazy v stredovej súmernosti so stredom S označíme postupne ako A´, B´, C´.
Body A a B spojíme teraz tou časťou hlavnej kružnice, ktorá je menšia ako p. Túto spojnicu označme ako c. Body A a C spojíme teraz tou časťou hlavnej kružnice, ktorá je menšia ako p. Túto spojnicu označme ako b. Body B a C podobne spojíme spojnicou a.
Všimnime si štvorsten ABCS. Body A, B, C, S neležia v jednej rovine, takže taký štvorsten existuje. Navyše platí

|∠CSB| = a < π
|∠ASB| = c < π
|∠ASC| = b < π

Definícia
Pod sférickým trojuholníkom ABC budeme rozumieť množinu všetkých bodov, ktoré ležia na guľovej ploche a na ľubovoľnej polpriamke SX prechádzajúcej vnútrom štvorstena ABCS.
Časti hlavných kružníc: a, b, c nazývame strany sférického trojuholníka ABC. Pritom a je oblúk BC; b je oblúk AC; c je oblúk AB. Súčasne budú označovať aj veľkosti týchto oblúkov.

Poznámka
Danými tromi rôznymi hlavnými kružnicami je na guľovej ploche určených 8 rôznych sférických trojuholníkov. Sú to ABC, ABC´, ACB´, AB´C´, BCA´, BA´C´, CA´B´, A´B´C´.

Definícia
Vrcholové sférické trojuholníky k sférickému trojuholníku ABC nazývame sférické trojuholníky AB’C’, BA’C’, CA’B’. Vedľajšie sférické trojuholníky k sférickému trojuholníku ABC sú sférické trojuholníky ABC’, BCA’, CAB’. Protiľahlý sférický trojuholník k sférickému trojuholníku ABC je sférický trojuholník A’B’C’.

Sférické trojuholníky, ktoré na jednotkovej guli vzniknú z troch rôznych hlavných kružníc. Kvôli lepšej názornosti si skúste zobrať pomaranč a nožíkom do jeho kôry narezať ľubovoľné tri hlavné kružnice. Zistite, koľko sférických trojuholníkov vznikne. Fixkou si ich môžete označiť.

Veta 1: Trojuholníková nerovnosť

Pre ľubovoľný sférický trojuholník platí

a < b + c
b < a + c
c < a + b

Dôkaz:
Urobíme ho sporom: Majme na guľovej ploche trojuholník ABC a predpokladajme, že platí napr.: c > a + b. Nakreslíme plášť štvorstena ABCS "rozložený" do roviny:


Predstavíme si, že ho vystrihneme a prehneme okolo úsečiek SA, SB, takto:


Keďže c > a + b, nie je možné zostrojiť štvorsten ABCS - jednoducho nedokážeme ohnúť trojuholník ACS a trojuholník CBS tak, aby sa v priestore body C spojili. Preto na guli nemôže takýto trojuholník existovať. To je však spor s predpokladom. QED.

Veta 2: Veta o stranách sférického trojuholníka

Pre ľubovoľný sférický trojuholník ABC platí:

0 < a + b + c < 2π

Dôkaz:

K trojuholníku ABC uvažujme vedľajší trojuholník, ktorý s ním má spoločnú stranu b (pozri obr. 1), teda trojuholník ACB´. Pre sférický trojuholník ACB´ musí platiť veta 1:

|∢CB'| + |∢AB'| > b

(Rozumej: Veľkosť oblúka CB' plus veľkosť oblúka AB' je väčšia ako b.)
Uvedomme si, že oblúk BCB' a oblúk BAB' sú poloblúky a preto:

|∢CB'| + a + |∢AB'| + c = 2π

Ak ku obom stranám nerovnice |∢CB'| + |∢AB'| > b pripočítame výraz a + c, dostaneme

|∢CB'| + a + |∢AB'| + c > a + b + c

Ľavá strana tejto nerovnice sa však rovná 2π. A to sme chceli dokázať. To, že a + b + c > 0, je zrejmé. QED.

Označenie uhlov v sférickom trojuholníku

Na rozdiel od rovinného trojuholníka sú dokonca aj strany sférického trojuholníka vlastne uhly. Sférický trojuholník je teda popísaný šiestimi uhlami, ktorých hodnoty sa udávajú v radiánoch alebo aj v stupňoch. Situáciu pri označovaní sférického trojuholníka výstižne popisuje nasledujúci obrázok:

Uvažujeme sférický trojuholník ABC so stranami a, b, c a uhlami α, β, γ pri vrcholoch.
Geometrický význam a, b, c je takýto:
a je uhol medzi úsečkami SC a SB,
b je uhol medzi úsečkami SA a SC,
c je uhol medzi úsečkami SA a SB.

Geometrický význam uhlov α, β, γ je takýto:
α je uhol medzi rovinami SAC a SAB,
β je uhol medzi rovinami SAB a SBC,
γ je uhol medzi rovinami SAC a SBC.

Definícia: Rohový trojuholník k danému trojuholníku

Hovoríme, že sférický trojuholník A1B1C1 je rohový k sférickému trojuholníku ABC, ak
SC1ASB
SB1ASC
SA1BSC
a navyše
bod C1 leží na opačnej strane roviny ASB ako bod C,
bod B1 leží na opačnej strane roviny ASC ako bod B,
bod A1 leží na opačnej strane roviny BSC ako bod A.

Veta 3: Vzťah medzi trojuholníkom a jeho rohovým trojuholníkom

Nech sférický trojuholník A1B1C1 je rohový k sférickému trojuholníku ABC a nech a1, b1, c1 sú jeho strany a α1, β1, γ1 sú jeho uhly pri vrcholoch. Potom platí
a1 + α = b1 + β = c1 + γ = π
a + α1 = b + β1 = c + γ1 = π

Dôkaz:

Budeme sledovať obrázok nad týmito riadkami. Na ňom je znázornený sférický trojuholník ABC a sférický trojuholník A1B1C1, ktorý je k nemu rohový (nachádza sa na guľovej ploche zozadu!). Štvorčeky pri bode S označujú pravé uhly. Napríklad uhol ASC1 je pravý atd.
Ukážeme napríklad, že platí, že
c1 + γ = π = 180°.
Ostatné vzťahy sa potom ukážu už podobne. Trojuholníky ABC a A1B1C1 sú rohové, čo podľa definície znamená, že:
SA1CSB SA1SC  ^ SA1SB
SB1ASC SB1SA  ^ SB1SC
Vidíme, že SCSA1 ^ SC SB1, z čoho vyplýva, že SCA1SB1.

Premietneme teraz všetko kolmo do roviny A1SB1, t.j. "pozrieme sa kolmo, v smere CS, na rovinu A1SB1".
"Uvidíme" niečo také, čo znázorňuje nasledujúci obrázok:

Pravý uhol budeme v obrázkoch znázorňovať štvorčekom namiesto zaužívaného oblúčika s bodkou. Bude to prehľadnejšie.

Len pripomeniem, že body S a C sa nám pri našom "pohľade" budú javiť ako totožné. Z predchádzajúceho obrázku vyplýva, že c1 + π/2 + γ + π/2 = 2π. Vidno teda, že platí to, čo sme chceli dokázať, t.j. c + γ1 = π.
Ostatné časti tvrdenia vety by sme dokázali podobne. Ak by sme napríklad chceli dokázať, že a + α1 = π, museli by sme sa na guľu „pozrieť“ kolmo z bodu A1 do S. QED.
Poznámka:
Dá sa ukázať, že ak sférický trojuholník A1B1C1 je rohový k sférickému trojuholníku ABC, tak potom je aj sférický trojuholník ABC rohový k sférickému trojuholníku A1B1C1. Teda trojuholníky ABC a A1B1C1 sú navzájom rohové. Nebudeme to tu dokazovať, lebo tento fakt aj tak nebudeme ďalej potrebovať.

Veta 4: O súčte uhlov v sférickom trojuholníku

Pre súčet uhlov α, β, γ pri vrcholoch ľubovoľného sférického trojuholníka ABC platí:
π < α + β + γ < 3π,
alebo v stupňoch:
180° < α + β + γ < 540°

Dôkaz:

K trojuholníku ABC uvažujme rohový trojuholník A1B1C1so stranami a1, b1, c1. Pre tento trojuholník musí platiť veta 2:
0 < a1 + b1 + c1 < 2π
Naviac, keďže sú trojuholníky rohové, z vety 3 vyplýva:
a1 = π - α
b1 = π - β
c1 = π - γ
Keď tieto nerovnosti dosadíme do predchádzajúcej nerovnice, dostaneme:
0 < π - α + π - β + π - γ < 2π
Túto nerovnicu vynásobíme číslom (–1), čím sa v nej zmenia znamienka nerovnosti na opačné. Dostaneme:
0 >  α + β + γ - 3π > -2π
Nakoniec k tejto nerovnici pripočítame číslo 3π, čím dostaneme to, čo sme chceli dokázať, t.j.:
3π > α + β + γ > π
Súčet uhlov vo sférickom trojuholníku je teda stále väčší ako 180° a menší ako 540°. QED.

Veta 5: Sínusová veta pre sférický trojuholník

Pre ľubovoľný sférický trojuholník ABC platí:

Dôkaz:

Bodom C (viď obrázok), kolmo na priamku SB, preložíme rovinu ρ. Táto rovina pretne rovinu SBC v priamke B1C. Rovina ρ ďalej pretne rovinu SBA v priamke B1A1 a rovinu SAC v priamke A1C.
Označme kolmý priemet bodu C do roviny SBA písmenom M. Bod M leží v rovine ρ. Prečo? Rovina ρ ⊥ SBA, lebo v rovine SBA existuje priamka SB, na ktorú je rovina ρ kolmá. Preto priamka CM, ktorej bod C ∈ ρ a ktorá je kolmá na rovinu SBA, musí celá ležať v rovine ρ. Preto bod M B1A1 – prieniku rovín ρ a SBA.

Vieme, že ρ ⊥ SB a preto musí byť priamka SB kolmá na všetky priamky roviny ρ, menovite na priamky B1C a B1A1. Preto sú na obrázku uhly ∠SB1C a ∠A1B1B pravé. Uhol ∠CMB1 je pravý zo zrejmých dôvodov.
Pre pravouhlý trojuholník ΔSB1C platí:
|B1C| = |SC| sin α = 1sin α = sin α
Pre pravouhlý trojuholník ΔB1MC platí:
|CM| = |B1C| sin β
Ak tieto dva vzťahy spojíme, dostaneme:
|CM| = sin α sin β (1)

Teraz sa na vec pozrieme z inej strany (viď druhý obrázok). Zostrojíme teraz rovinu ρ kolmú na priamku SA. Táto rovina pretne rovinu SBC v priamke B2C. Rovina ρ ďalej pretne rovinu SBA v priamke B2A2 a rovinu SAC v priamke A2C.

Kolmý priemet bodu C do roviny SBA bude tak ako predtým ten istý bod M. Bod M leží v rovine ρ. Prečo? Rovina ρ ⊥ SBA, lebo v rovine SBA existuje priamka SA, na ktorú je rovina ρ kolmá. Preto priamka CM, ktorej bod C ∈ ρ a ktorá je kolmá na rovinu SBA, musí celá ležať v rovine ρ. Preto bod M B2A2 – prieniku rovín ρ a SBA.

Vieme, že ρ ⊥ SA a preto musí byť priamka SA kolmá na všetky priamky roviny ρ, menovite na priamky A2C a A2B2. Preto sú na obrázku uhly ∠AA2C a ∠B2A2A pravé. Uhol ∠CMA2 je pravý zo zrejmých dôvodov.

Pre pravouhlý trojuholník ΔSA2C platí:
|A2C| = |SC| sin b = 1sin b = sin b
Pre pravouhlý trojuholník ΔA2MC platí:
|CM| = |A2C| sin α
Ak tieto dva vzťahy spojíme, dostaneme:
|CM| = sin b sin α (2)
Ak teraz porovnáme dĺžku úsečky CM vyjadrenú vo vzťahoch (1) a (2), dostaneme výsledok:
sin a sin β = sin b sin α
Ak túto rovnicu vydelíme výrazom sin α sin β, tak dostaneme vzťah

Aby bol dôkaz sínusovej vety úplný, je ešte potrebné ukázať vzťah

Ten sa ukáže rovnakým postupom, aký sme tu použili, len sa nebude robiť priemet bodu C do roviny SBA, ale priemet bodu B do roviny SAC. QED.

Veta 6: Kosínusová veta pre sférický trojuholník
Pre ľubovoľný sférický trojuholník ABC platí:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ cos γ = -cos α cos β + sin α sin β cos c
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos β cos β = -cos α cos γ + sin α sin γ cos b
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α cos α = -cos β cos γ + sin β sin γ cos a

Dôkaz:

Uvažujme k sférickému trojuholníku ABC jemu zodpovedajúci štvorsten SABC (viď obrázok). V rovine SCB vedieme bodom C kolmo na priamku SC priamku CB1. Podobne, v rovine SAB vedieme kolmo na priamku SC priamku CA1. Nech A1 a B1 sú body, v ktorých tieto priamky pretínajú rovinu SAB. Rovina CB1A1 je takto dotykovou rovinou ku guľovej ploche v bode C.

Trojuholník ΔSCB1 je pravouhlý, s pravým uhlom pri vrchole C. Preto môžeme písať:

A ďalej:

Trojuholník ΔSCA1 je tiež pravouhlý, s pravým uhlom pri vrchole C. Platí preň:

A ďalej:

Pre rovinný trojuholník ΔSB1A1 môžeme napísať kosínusovú vetu:

Podobne môžeme kosínusovú vetu napísať aj pre trojuholník ΔCB1A1:

Vzťahy (5) a (6) teraz porovnáme a dosadíme do nich zo vzťahov (1), (2), (3) a (4):

Členy rovnice preskupíme:

Využijeme platnosť identity:

Na jej základe sa ľavá strana rovnice rovná 2. Ak teraz celú rovnicu podelíme 2, dostaneme:

Ak teraz celú rovnicu vynásobíme výrazom cos a cos b, dostaneme:
cos a cos b = cos c - sin a sin b cos γ
Po vhodnom preskupení členov získavame kosínusovú vetu pre strany sférického trojuholníka:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ
Z tohoto vzťahu je teraz už ľahké odvodiť zodpovedajúci vzťah
cos γ = -cos a cos b + sin a sin b cos c,
ktorému sa hovorí kosínusová veta pre uhly sférického trojuholníka. Uvažujme k sférickému trojuholníku ABC rohový sférický trojuholník A1B1C1. Aj pre tento trojuholník musí platiť kosínusová veta pre strany, ktorú sme už dokázali:
cos c1 = cos a1 cos b1 + sin a1 sin b1 cos γ1
Využijeme tvrdenie vety 3 o vzťahu medzi prvkami sférického trojuholníka a k nemu rohového sférického trojuholníka. Na základe nich môžeme písať:
cos(π - γ) = cos(π - α) cos(π - β) + sin(π - α) sin(π - β) cos(π - c)
Využijeme teraz trigonometrické identity:
cos(π - x) = -cos x a sin(π - x) = sin x
Dostaneme:
-cos γ = cos α cos β + sin α sin β(-cos c)
Z neho po vynásobení (-1) získame vytúžený výsledok:
cos γ = cos α cos β + sin a sin b cos c
Zvyšné vzťahy by sme získali analogicky. Museli by sme len zostrojiť dotykové roviny ku guľovej ploche v ostatných vrcholoch sférického trojuholníka.

Poznámka:
Náš dôkaz bol urobený nie celkom všeobecne. Predpokladali sme pri ňom, že body B1 a A1 existujú, t.j. že uhly a, ani b nie sú pravé. Je teraz na mieste sa opýtať, či nami získaný vzťah pre kosínusovú vetu platí aj v takom špeciálnom prípade, keď niektorý z uhlov a, b je pravý. Odpoveď: PLATÍ. Prečo? Je rozumné to očakávať. Predstavme si, že by sme mali uhol a pravý. Pre neho naše odvodenie nefunguje. Ale funguje pre trojuholník, ktorý má uhol a skoro pravý. Nami odvodená kosínusová veta platí pre všetky uhly a, ktoré nie sú pravé, ale môžu sa k pravému uhlu ľubovoľne blízko priblížiť. Je rozumné predpokladať, že vzorec pre kosínusovú vetu sa v okamihu, keď a dosiahne 90°, nezmení skokom na nejaký iný vzorec. Zostane taký istý, aký bol. QED.
Problém:
Vieme, že keď na povrchu obrovskej gule (napríklad na povrchu Zeme) nakreslíme malé sférické trojuholníky (s rozmermi niekoľko metrov), nebude na nich možné zbadať, že sú na zakrivenej ploche. Budú sa nám zdať ploché, rovinné. Pre takéto trojuholníky sme zvyknutí používať obyčajnú sínusovú a kosínusovú vetu pre rovinný trojuholník, teda napríklad vzťahy:

Práve sme však odvodili, že pre ne platí aj sínusová veta a kosínusová veta pre sférický trojuholník, čiže vzťahy:

Sú to úplne odlišné vzťahy a predsa fungujú. Ako je to možné?
Návod na riešenie: Využite platnosť približných vzorcov
sin x ≈ x
cos x ≈  1 - x2/2
platných, ak je x v radiánoch a je zanedbateľné voči jednotke.